Simplicity of vacuum modules and associated varieties

Tomoyuki Arakawa,Cuipo Jiang,Anne Moreau

doi:10.5802/jep.144

Abstract

In this note, we prove that the universal affine vertex algebra associated with a simple Lie algebra $\mathfrak{g}$ is simple if and only if the associated variety of its unique simple quotient is equal to $\mathfrak{g}^*$. We also derive an analogous result for the quantized Drinfeld-Sokolov reduction applied to the universal affine vertex algebra.

Highlights

Résumé (Simplicité des algèbres vertex affines et variétés associées). — Dans cet article, nous démontrons que l’algèbre vertex affine universelle associée à une algèbre de Lie simple g est simple si et seulement si la variété associée à son unique quotient simple est égale à g∗
The associated variety XV of V is the reduced scheme XV = Specm(RV ) corresponding to RV. It is a fundamental invariant of V that captures important properties of the vertex algebra V itself
The associated variety XV conjecturally [BR18] coincides with the Higgs branch of a 4D N = 2 superconformal field theory T, if V corresponds to a theory T by the 4D/2D duality discovered in [BLL+15]

Summary

Introduction

Résumé (Simplicité des algèbres vertex affines et variétés associées). — Dans cet article, nous démontrons que l’algèbre vertex affine universelle associée à une algèbre de Lie simple g est simple si et seulement si la variété associée à son unique quotient simple est égale à g∗. Theorem 1.2 would follow if the image of any nontrivial singular vector in C[J∞g∗] under the projection (1.3) is nonzero. Let us consider the W -algebra W k(g, f ) associated with a nilpotent element f of g at the level k defined by the generalized quantized Drinfeld-Sokolov reduction

Objectives

Results

Conclusion