Short cycles in high genus unicellular maps

Abstract

Nous étudions les grandes cartes aléatoires uniformes à une face dont le genre croît linéairement avec le nombre d’arêtes, qui sont un modèle de géométrie hyperbolique discrète. Dans des travaux précédents, plusieurs propriétés géométriques hyperboliques ont été étudiées. Dans le présent travail, nous étudions le nombre de petits cycles dans une carte unicellulaire uniforme de grand genre, et nous montrons qu’il converge vers une distribution de Poisson. En corollaire, nous obtenons la loi de la systole des cartes unicellulaires uniformes de grand genre. Nous obtenons également la distribution asymptotique des degrés des sommets dans une telle carte.