Semidefinite symplex-method for solving the quadratic optimization problems

Анатолий Иванович Косолап

doi:10.15587/1729-4061.2013.19107

Abstract

We propose a new semidefinite simplex-method for solving the semidefinite optimization problems. In this paper, a general quadratic problem is transformed to a linear semidefinite one using a semidefinite relaxation. We look for a semidefinite matrix in the semidefinite optimization problem. Such matrix can be represented as a sum of the rank-one matrices. The proposed semidefinite simplex-method uses the semidefinite matrix in the form of a linear combination of matrices of the rank-one matrices. We find each such matrix solving the problem of minimizing the quadratic form. If the minimum of the quadratic form is non-negative, the semi-definite optimization problem is solved. Otherwise, we continue to search the rank-one matrix, which will reduce the value of the objective function of the semidefinite optimization problem. In general, solution of the semidefinite optimization problem defines only the lower bound of the solution of the initial quadratic problem. We use this solution as a starting point for the quadratic optimization problem. We solve this problem by a primal-dual interior-point method. The numerical experiments showed that the found solution often coincides with the point of global minimum of the quadratic optimization problem.

Highlights

СИМПЛЕКСМЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИМатематическими моделями задач из области экономики, финансов, оптимизации сложных проектов, планирования, компьютерной графики, управления сложными системами, являются задачи квадратичной оптимизации в конечномерном пространстве, когда целевая функция и ограничения заданы общими квадратичными функциями [1].
Одним из общих подходов при решении задач квадратичной оптимизации является полуопределенная релаксация [3].
Другие общие подходы к решению общей задачи квадратичной оптимизации используют схемы методов ветвей и границ, которые предусматривают построение дерева подзадач посредством разбиения допустимой области на множество подобластей и сравнение решений на каждой из этих подобластей.

Summary

СИМПЛЕКСМЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАДРАТИЧНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

Математическими моделями задач из области экономики, финансов, оптимизации сложных проектов, планирования, компьютерной графики, управления сложными системами, являются задачи квадратичной оптимизации в конечномерном пространстве, когда целевая функция и ограничения заданы общими квадратичными функциями [1]. Одним из общих подходов при решении задач квадратичной оптимизации является полуопределенная релаксация [3]. Другие общие подходы к решению общей задачи квадратичной оптимизации используют схемы методов ветвей и границ, которые предусматривают построение дерева подзадач посредством разбиения допустимой области на множество подобластей и сравнение решений на каждой из этих подобластей. Если на ней найдена точка глобального минимума. Что такой подход может быть эффективен только для задач малой размерности, либо когда удается локализовать точку глобального минимума. Разбиение всей допустимой области на подобласти для пространств больших размерностей неэффективно. Поэтому проблема эффективного решения общих квадратичных задач до настоящего времени остается открытой

Рассмотрим общую задачу квадратичной оптимизации

Xj x jx

Метод Ньютона для этой нелинейной системы уравнений будет иметь вид

Название Размерность Задача задачи задачи n