Semi-Markov processes, integro-differential equations and anomalous diffusion-aggregation

Abstract

Dans cet article, les equations de Volterra integro-differentielles dont le noyau de convolution depend de la variable vectorielle sont considerees et une relation entre ces equations et une classe de processus semi-Markoviens est etablie. L’equation de diffusion fractionnelle d’ordre variable $\alpha(x)$ est un cas particulier de notre analyse et elle se revele etre associee a un changement de temps approprie (non independant) du mouvement Brownien. Le processus resultant est semi-markovien et ses trajectoires ont des intervalles de constance, comme cela arrive pour le mouvement Brownien retarde, adapte pour modeliser les effets de piegeage induits par le milieu. Cependant, dans notre scenario, l’intervalle de constance peut dependre de la position et cela signifie des pieges de profondeur variant dans l’espace comme cela se produit dans un milieu desordonne. La force du piegeage est etudiee au moyen du comportement asymptotique du processus: il est demontre que, sous certaines hypotheses techniques sur $\alpha(x)$, les pieges rendent le processus non diffusif en ce sens qu’il passe un temps negligeable hors d’un voisinage de la region $\operatorname{argmin}(\alpha(x))$ vers laquelle il converge en probabilite sous quelques hypotheses plus restrictives sur $\alpha(x)$.