Self-avoiding walk on $\mathbb{Z}^{2}$ with Yang–Baxter weights: Universality of critical fugacity and 2-point function

Abstract

On considère un modèle de marches auto-évitantes sur les faces du réseau carré $\mathbb{Z}^{2}$. Ce type de marche peut traverser la même face deux fois, mais traverse chaque arrête au plus une fois. Le poids d’une telle marche est le produit de poids locaux : chaque face visitée contribue par un poids qui dépend de la façon dont la marche la traverse. Les poids locaux associés à chaque face sont paramétrés par des angles $\theta \in [\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$ et satisfont l’équation de Yang–Baxter. La marche est plongée dans le plan en remplaçant les faces carrées du réseau par des losanges d’angles correspondant à leur poids. À l’aide de la transformation de Yang–Baxter, on montre que la fonction à deux points de la marche dans le demi-plan ne dépend pas des angles des losanges. En particulier, cette statistique coïncide avec celle de la marche aléatoire sur le réseau hexagonal – celle-ci est obtenue en choisissant tous les angles $\theta $ égaux à $\frac{\pi }{3}$. La fugacité critique des marches auto-évitantes sur le réseau hexagonal a été calculée récemment : elle vaut $1+\sqrt{2}$. Nous montrons que la même chose est valable pour tout choix d’angles. A cette occasion, on donne une nouvelle preuve du fait que la fonction de partition des ponts auto-évitants dans une bande du réseau hexagonal tend vers $0$ quand la largeur de la bande tend vers l’infini. De plus, on montre une borne quantitative sur le taux de convergence.