Abstract
In this paper, we consider a stochastic differential equation in a Hilbert space. This is a natural situation when modeling a physical system having disturbances such as white noise. The equation describing such a process is a nonlinear stochastic equation in the form of Ito. In this paper, we consider the method of multiplicative linearization of such an equation. To this end, the time interval for the existence of a solution is divided into elementary ones in such a way that the diameter of the maximum partition tends to zero. At each of these intervals, the nonlinear coefficients of the equation are expanded in a Taylor series. This becomes possible when additional conditions for the coefficients of the equation are satisfied. It is required that the coefficients have Lipschitz uniformly bounded first and second order derivatives, and also that the fourth moment of the initial value be bounded. The conditions of the equivalence lemma of two multiplicative representations are verified. One of these multiplicative families is a stochastic strongly continuous evolutionary family of resolving operators of the original equation. Another family is the product of the resolving operators of linear equations on the corresponding elementary time intervals. Under the additional conditions on the coefficients of the equation, there exists a unique, up to stochastic equivalence, solution of a linear inhomogeneous equation. Using the Lagrange form for the remainder terms when expanding in a Taylor series and the Gronwall lemma, the conditions of the lemma are verified and the solution is proved to be a product of linear processes on each elementary interval. This multiplicative product can be interpreted as an approximate solution.
Highlights
Київський національний університет будівництва і архітектуриВ даній роботі розглядається метод мультиплікативної лінеаризації випадкового процесу, який є розв’язком нелінійного стохастичного диференціального рівняння
Ключові слова: функціональний простір; випадковий процес; мультиплікативність; стохастичне рівняння; нелінійні коефіцієнти; диференціювання; алгебра; підалгебра; норма;, вимірність; еволюційний; оператор; еквівалентність; границя; неперервність; умовне математичне сподівання
We consider the method of multiplicative linearization of such an equation
Summary
В даній роботі розглядається метод мультиплікативної лінеаризації випадкового процесу, який є розв’язком нелінійного стохастичного диференціального рівняння. Як метод наближеного обчислення , який спрощує дослідження відповідного нелінійного рівняння. У роботі розглядається метод мультиплікативної лінеаризації випадкового процесу, який є розв’язком нелінійного стохастичного диференціального рівняння. Згідно з класичною теорією стохастичних диференціальних рівнянь в гільбертовому просторі 2 при виконанні умов (2),(3) існує єдиний з точністю до стохастичної еквівалентності вимірний випадковий процес, який задовольняє (1) з імовірністю 1, і мають місце оцінки. Стохастична сім’я відображень називається мультиплікативною, якщо з імовірністю 1 має місце співвідношення. Таким чином згідно з наведеною лемою, аби показати, що розв’язок рівняння (1) допускає мультиплікативні представлення у вигляді інших операторів, треба перевірити виконання вимог леми. Розкладемо коефіцієнти рівняння (1) за формулою Тейлора на елементарному відрізку ,. Для перевірки умови (7) скористаємось формулою Лагранжа для залишкового члена і отримаємо такі оцінки
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
