Scaling limits of Markov branching trees and Galton–Watson trees conditioned on the number of vertices with out-degree in a given set

Abstract

Nous obtenons des limites d’échelle pour des arbres branchants markoviens dont la taille est égale au nombre de noeuds dont le degré sortant appartient à un ensemble fixé. Ceci étend des résultats récents de Haas et Miermont dans (Ann. Probab. 40 (2012) 2589–2666), qui ont considéré le cas où la taille d’un arbre est le nombre de ses feuilles ou le nombre des sommets. Nous utilisons nos résultats pour prouver que la limite d’échelle d’arbres de Galton–Watson conditionnés par le nombre de noeuds dont le degré sortant appartient à un ensemble donné est l’arbre brownien continu. La clé pour appliquer notre résultat pour les arbres branchants markoviens à des arbres de Galton–Watson conditionnés est une généralisation de la formule classique de Otter–Dwass. Ceci est obtenu en montrant que le nombre de sommets d’un arbre de Galton–Watson dont le degré sortant appartient à un ensemble donné est distribué comme le nombre de sommets dans un arbre de Galton–Watson avec une loi de reproduction appropriée.