Resonances and Spectral Shift Function near the Landau levels

Abstract

On etudie l'operateur de Schrodinger magnetique en dimension 3, H = H o + V ou Ho (-iV - A) 2 -b, A est un potentiel magnetique generant un champ magnetique constant de force b > 0 fixee et V est un potentiel electrique qui decroit super-exponentiellernent; dans la direction du champ magnetique. On montre que la resolvante de H admet un prolongement meromorphe du plan superieur une certaine surface de Riemann M et on definit les resonances de H comme les poles de cette extension ineromorphe. On etudie leur repartition pres d'un niveau de Landau fixe 2bq, q ∈ N. On obtient d'abord des majorations du nombre de resonances dans des petits domaines proches de 2bq. Sous des hypothses supplementaires, on prouve des minorations du nombre de resonances qui implique la presence d'une infinite de resonances ou bien l'absence de resonances dans certains secteurs de sommet 2bq. Finalement, on montre que la fonction de decalage spectral (FDS) associee a la paire (H, H 0 ) est la somme de mesures harmoniques associees aux resonances et. de la. partie imaginaire d'une fonction holomorphe. Cette formule justifie l'approximation de Breit-Wigner, implique une formule de trace a la Sjostrand et donne des informations sur les singularites de la FDS aux niveaux de Landau.