Abstract
The paper deals with the issue of convergence of one of the generalizations of continued fractions - branched continued fraction (BCF) of the special form with two branches, which has been proposed by the Polish mathematician W. Siemaszko in solving the problem of compliance between the formal double power series and a sequence of rational approximations of the function of two variables. Unlike continued fractions, approximations of which are constructed unambiguously, there are many ways to construct approximations of BCF of the general and special form. The paper examines the conventional approximations of one of the structures of figured approximations of the studied BCF, which is associated with the problem of compliance. The formulas of difference between two approximations (two conventional, two figured, figured and conventional) were given. Using the majorant method and known results of the theory of convergence of continued fractions, the theorem on some sufficient conditions for absolute and absolute figured convergence of BCF of the special form with two branches towards the same border was proved. It was shown that the values of the studied BCF and its approximations belong to a circle, the radius of which depends on the values of BCF elements on the first floor and the constants appearing in the formulation of the theorem. By choosing different values for these constants, it is possible to obtain various signs of absolute and figured absolute convergence of BCF of the special form.
Highlights
Аналіз літературних даних і постановка задачіЗастосування апарату неперервних дробів для побудови чисельних методів розв’язування конкретної задачі вимагає вибору того чи іншого різновиду такого дробу: звичайного, матричного, операторного, гіллястого, інтегрального тощо.
Одним з ефективних алгоритмів розвинення аналітичних функцій у неперервні дроби є побудова відповідних неперервних дробів для степеневих рядів, в які розвиваються дані функції [4, 5].
На відміну від звичайних ланцюгових (неперервних) дробів, наближення яких будуються однозначно, наближення (підхідні дроби) ГЛД загального і спеціального вигляду можна будувати різними способами [8, 14].
Summary
Застосування апарату неперервних дробів для побудови чисельних методів розв’язування конкретної задачі вимагає вибору того чи іншого різновиду такого дробу: звичайного, матричного, операторного, гіллястого, інтегрального тощо. Одним з ефективних алгоритмів розвинення аналітичних функцій у неперервні дроби є побудова відповідних неперервних дробів для степеневих рядів, в які розвиваються дані функції [4, 5]. На відміну від звичайних ланцюгових (неперервних) дробів, наближення яких будуються однозначно, наближення (підхідні дроби) ГЛД загального і спеціального вигляду можна будувати різними способами [8, 14]. Що функціональний ГЛД (1)–(2) фігурно рівномірно збігається в області D ⊂ C2, якщо, починаючи з деякого номеру n0, всюди в D його ( ) фігурні наближення f k z1,z2 , k ≥ n0, мають сенс і скінченні, і для довільного ε > 0 існує такий номер ( ) n1 ≥ n0, що для всіх n, m ≥ n1 і довільних z1,z2 ∈D ( ) ( ) виконується нерівність f n z1,z2 − f m z1,z2 < ε. Можна також говорити про рівномірну збіжність ГЛД (1)–(2) в області D
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
