Random trigonometric polynomials: Universality and non-universality of the variance for the number of real roots

Abstract

Dans cet article, nous étudions le nombre de zéros réels de polynômes trigonométriques avec coefficients i.i.d. Quand les coefficients sont centrés, réduits, et possèdent des moments finis d’ordre suffisamment élevé, nous montrons que la variance du nombre de zéros est asymptotiquement linéaire en son espérance ; de plus, la constante multiplicative dans cette relation linéaire dépend seulement du kurtosis de la loi commune des coefficients du polynôme. Ce résultat contraste fortement avec les classiques polynômes de Kac pour lesquels la variance ne dépend que des deux premiers moments. Il s’agit probablement du premier résultat sur ce type de questions pour des lois générales des coefficients, y compris des lois discrètes, pour des polynômes qui ne sont pas dans la famille des polynômes de Kac. L’expansion de Edgeworth, la formule asymptotique de Kac–Rice et l’analyse précise des fonctions caractéristiques sont les outils principaux de notre approche.