Random partitions with two-side bounds and $(r,s)$-Bell polynomials in a parametric probabilistic model

Abstract

Рассматриваются $A_{r,s}$-разбиения $n$-множества $X_n = $ $\{1,2,\ldots,n\}$, т. е. такие разбиения, когда все блоки разбиения имеют размеры, являющиеся элементами заданного подмножества натуральных чисел $A_{r,s} = \{i: r < i \leqslant s \}$, $0 \leqslant r < s \leqslant n$. На множестве таких разбиений задается вероятностная мера, согласно которой любому разбиению с $k$ блоками приписывается вероятность, пропорциональная $\theta^k$, где $\theta > 0$ - параметр меры. Для такой модели изучается распределение общего числа блоков $\xi_{n,r,s}$ случайного разбиения множества $X_n$. Определяются $(r,s)$-полиномы Белла и исследуется их асимптотическое поведение, когда параметры $n,r,s$ стремятся к бесконечности согласованным образом. На этой основе доказывается асимптотическая нормальность $\xi_{n,r,s}$. Построены статистические критерии проверки гипотезы равновероятности $H_0\colon \theta = 1$ относительно альтернатив $H_1\colon \theta \ne 1$.