Q-Enumeration of alternating sign matrices with exactly one −1

Abstract

We enumerate the alternating sign matrices that contain exactly one −1 according to their number of inversions (possibly taking into account the position of the unique non-zero entry in the first row). In conformity with the Mills, Robbins and Rumsey conjectures, this is the same as the enumeration, according to the number of parts, of descending plane partitions with exactly one special part. This is shown by finding a determinantal expression for the generating function of descending plane partitions, transforming it algebraically and extracting recurrences for those with one special part. Finally, we show that the generating function of alternating sign matrices that contain exactly one −1 follows the same recurrences. Résumé On énumère les matrices à signes alternants qui ne contiennent qu'un seul −1 selon leur nombre d'inversions (en tenant compte possiblement de la position de la seule entrée non nulle de la première ligne). Conformément aux conjectures de Mills, Robbins et Rumsey, ceci revient à l’énumération, selon le nombre de parts, des partitions planes descendantes qui n'ont qu'une seule part spéciale. Pour le démontrer, on obtient d'abord la fonction génératrice des partitions planes descendantes sous forme d'un déterminant qu'on transforme algébriquement pour en extraire des récurrences qui caractérisent celles n'ayant qu'une part spéciale. Finalement, on montre que la fonction génératrice des matrices à signes alternants vérifie les mêmes récurrences.