Q-Analogs of symmetric function operators

Abstract

For any homomorphism V on the space of symmetric functions, we introduce an operation that creates a q-analog of V. By giving several examples we demonstrate that this quantization occurs naturally within the theory of symmetric functions. In particular, we show that the Hall–Littlewood symmetric functions are formed by taking this q-analog of the Schur symmetric functions and the Macdonald symmetric functions appear by taking the q-analog of the Hall–Littlewood symmetric functions in the parameter t. This relation is then used to derive recurrences on the Macdonald q, t-Kostka coefficients. Résumé Pour un homomorphisme V sur l'espace des fonctions symétriques, nous présentons une opération qui crée un q-analogue de V. En donnant plusieurs exemples nous démontrons que cette quantization se produit naturellement dans la théorie de fonctions symétriques. En particulier, nous prouvons que les fonctions symétriques de Hall–Littlewood sont constituées en prenant ce q-analogue des fonctions symétriques de Schur et les fonctions symétriques de Macdonald apparaissent en prenant le q-analogue des fonctions symétriques de Hall–Littlewood dans le paramètre t. Cette relation est alors employée pour dériver des récurrence sur les coefficients Macdonald q, t-Kostka.