Producing new semi-orthogonal decompositions in arithmetic geometry

Abstract

Статья посвящена построению новых допустимых подкатегорий и полуортогональных разложений из исходных. Пусть $\mathcal{T}$ и $\mathcal{T}'$ - триангулированные подкатегории некоторой категории $\mathcal{D}$, а $(\mathcal{A},\mathcal{B})$ - полуортогональное разложение $\mathcal{T}$; мы ищем или такое разложение $(\mathcal{A}',\mathcal{B}')$ категории $\mathcal{T}'$, что нет ненулевых $\mathcal{D}$-морфизмов из $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}'$ и из $\mathcal{B}$ в $\mathcal{B}'$, или такое разложение $(\mathcal{A}_{\mathcal{D}},\mathcal{B}_{\mathcal{D}})$ категории $\mathcal{D}$, что $\mathcal{A}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}=\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}_{\mathcal{D}}\cap \mathcal{T}=\mathcal{B}$. Доказываются несколько общих теорем существования (они также обобщаются на полуортогональные разложения произвольной длины); они применяются к различным производным категориям когерентных пучков на схеме $X$, собственной над спектром нeтерова кольца $R$. Это дает взаимно однозначное соответствие между полуортогональными разложениями категорий $D_{\mathrm{perf}}(X)$ и $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X)) $; последние распространяются на $D^-(\operatorname{coh}(X))$, $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$, $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D(\operatorname{Qcoh}(X))$ (если выполнены очень слабые дополнительные предположения). В частности, доказывается широкое обобщение некоторой теоремы Дж. Кармазина, А. Кузнецова и Е. Шиндера. Для получения этих результатов применяются недавние результаты Неемана, выражающие категории $D^{\mathrm{b}}(\operatorname{coh}(X))$ и $D^- (\operatorname{coh}(X))$ через $D_{\mathrm{perf}}(X)$. Также доказывается аналогичная новая теорема, связывающая $D^+_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ и $D_{\mathrm{coh}}(\operatorname{Qcoh}(X))$ (это некоторые модификации ограниченной снизу и неограниченной производной категории когерентных пучков на $X$) с гомологическими функторами $D_{\mathrm{perf}}(X)^{\mathrm{op}}\to R-\operatorname{mod}$. Мы также изучаем применение этой теорем к построению некоторых сопряженных функторов. Библиография: 30 названий.