Principalization algorithm via class group structure

Abstract

Pour un corps de nombres algébriques K avec 3-groupe de classes Cl 3 (K) du type (3,3), la structure des 3-groupes de classes Cl 3 (N i ) des quatre extensions cubiques cycliques non-ramifiées N i , 1≤i≤4, de K est calculée à l’aide de présentations du groupe de Galois métabélien G 3 2 (K)=Gal(F 3 2 (K)|K) du deuxième 3-corps de classes de Hilbert F 3 2 (K) de K. Dans le cas d’un corps de base quadratique K=ℚ(D), il est montré que la structure des 3-groupes de classes des quatre S 3 -corps N 1 ,...,N 4 détermine fréquemment le type de principalisation de 3-groupe de classes de K dans N 1 ,...,N 4 . Ceci offre une alternative à l’algorithme de principalisation classique par Scholz et Taussky. Le nouvel algorithme qui est facilement automatisable et s’exécute très brièvement est implémenté en PARI/GP et est appliqué à tous les 4596 corps quadratiques K de 3-groupe de classes du type (3,3) et de discriminant -10 6 <D<10 7 pour obtenir des statistiques détaillées sur leurs types de principalisation et sur la distribution de leurs deuxièmes 3-groupes de classes G 3 2 (K) sur des arbres divers de coclasses des graphes de coclasses 𝒢(3,r), 1≤r≤6, dans le sens de Eick, Leedham-Green et Newman.