Abstract
Inspired by the Bruhat-Tits building of SL$_n$($\mathbb Q_p$), we construct a complete metric space X with an action of the tame automorphism group of the affine space Tame($K^n$). The points in X are certain monomial valuations, and X admits a natural structure of Euclidean CW-complex of dimension n-1. When n = 3, and for K of characteristic zero, we prove that X has non-positive curvature and is simply connected, hence is a CAT(0) space. As an application we obtain the linearizability of finite subgroups in Tame($K^3$).
Highlights
[BH99, I.5.27 (3)], cette dernière identification est une isométrie pour les distances induites par les espaces ambiants V(z, ε) et X
Un complexe de groupes G sur un poset (Σ, τ un homomorphisme injectif φτ σ : Gσ → Gτ
Alors tout sous-groupe fini de G est conjugué par un élément de M à un sous-groupe de L
Summary
Xn]), que l’on peut penser comme un sous-groupe de Aut(kr+n), est engendré par les matrices élémentaires, qui sont des automorphismes modérés particuliers. Le point est que ce nouvel espace n’est plus connexe, et la composante connexe contenant les valuations monomiales initiales est précisément notre espace Xn. Nous avons fait le choix de nous restreindre dès le départ à l’action du groupe modéré, cependant le lecteur intéressé pourra vérifier que la plupart des énoncés généraux (en particulier dans les sections 2 et 3) resteraient valables pour le groupe Aut(kn), avec une preuve inchangée. Comme nous le montrons dans l’appendice 9.3, pour n 3 l’espace Xn n’est pas la réalisation de Davis [AB08, Definition 12.65] d’un immeuble, car la propriété cruciale « par deux points passe un appartement » [AB08, Definition 4.1 (B1)] est mise en défaut, même localement. Nous remercions également les rapporteurs dont les suggestions nous ont permis d’améliorer la présentation de l’article
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