Precise large deviation results for products of random matrices

Abstract

Le théorème de Furstenberg et Kesten établit une loi forte des grands nombres pour la norme d’un produit de matrices aléatoires. Cela peut être étendu sous des hypothèses variées, dans le cas des matrices positives ou inversibles, à une loi des grand nombres pour la norme d’un vecteur sur lequel les matrices agissent. Dans ce cadre, nous prouvons des résultats de grandes déviations précis, en généralisant le théorème de Bahadur–Rao à cette situation. Ainsi, nous obtenons une expansion de Edgeworth au troisième ordre pour la fonction de répartition de la norme du vecteur. Ce résultat se base sur une application de la méthode de Nagaev–Guivarch. Notre résultat est utilisé ensuite pour étudier des récurrences matricielles, qui apparaissent par exemple dans les séries temporelles en finance, et pour donner des estimations précises de grandes déviations.