Abstract
We study the polyhedral properties of three problems of constructing an optimal complete bipartite subgraph (a biclique) in a bipartite graph. In the first problem, we consider a balanced biclique with the same number of vertices in both parts and arbitrary edge weights. In the other two problems we are dealing with unbalanced subgraphs of maximum and minimum weight with non-negative edges. All three problems are established to be NP-hard. We study the polytopes and the cone decompositions of these problems and their 1-skeletons. We describe the adjacency criterion in the 1-skeleton of the polytope of the balanced complete bipartite subgraph problem. The clique number of the 1-skeleton is estimated from below by a superpolynomial function. For both unbalanced biclique problems we establish the superpolynomial lower bounds on the clique numbers of the graphs of nonnegative cone decompositions. These values characterize the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons.
Highlights
Учитывая исключение вершины с номером n, случай нечетного k сводится к четному в графе с n−1 вершиной в каждой доле
A.1, "Polyhedral Characteristics of Balanced and Unbalanced Bipartite Subgraph Problems", Modeling and Analysis of Information Systems, 24:2 (2017), 141–154
Summary
Число вершин в наибольшей клике, графа конусного разбиения K пространства Rd по множеству X. Выпуклой оболочкой конечного множества точек служит выпуклый многогранник, который называется многогранником задачи. Для конусного разбиения пространства Rd по множеству X граф совпадает с полиэдральным графом многогранника M (X), множеством вершин которого служит множество геометрических вершин (в данном случае это X), а множеством ребер совокупность геометрических ребер, т.e. множество одномерных граней. В свою очередь, является двойственной к полиэдру задачи, который определяется как доминанта выпуклой оболочки множества X: dmt(X) = conv(V ) + Rd+, и применяется при анализе задач с неотрицательными исходными данными [13]. Графов конусных разбиений и их взаимосвязи со сложностью задач комбинаторной оптимизации посвящено большое число работ. В частности, были получены результаты для многогранников задачи коммивояжера [1] и задач об остовном дереве при дополнительных ограничениях [4], а также для неотрицательных конусных разбиений для задач о кратчайшем и самом длинном пути [5], задачи о разрезе [3, 8] и многих других [2]
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.