Polyhedral Characteristics of Balanced and Unbalanced Bipartite Subgraph Problems

Vladimir Bondarenko,Andrei Nikolaev,Dzhambolet Shovgenov

doi:10.18255/1818-1015-2017-2-141-154

Abstract

We study the polyhedral properties of three problems of constructing an optimal complete bipartite subgraph (a biclique) in a bipartite graph. In the first problem, we consider a balanced biclique with the same number of vertices in both parts and arbitrary edge weights. In the other two problems we are dealing with unbalanced subgraphs of maximum and minimum weight with non-negative edges. All three problems are established to be NP-hard. We study the polytopes and the cone decompositions of these problems and their 1-skeletons. We describe the adjacency criterion in the 1-skeleton of the polytope of the balanced complete bipartite subgraph problem. The clique number of the 1-skeleton is estimated from below by a superpolynomial function. For both unbalanced biclique problems we establish the superpolynomial lower bounds on the clique numbers of the graphs of nonnegative cone decompositions. These values characterize the time complexity in a broad class of algorithms based on linear comparisons.

Highlights

Учитывая исключение вершины с номером n, случай нечетного k сводится к четному в графе с n−1 вершиной в каждой доле
A.1, "Polyhedral Characteristics of Balanced and Unbalanced Bipartite Subgraph Problems", Modeling and Analysis of Information Systems, 24:2 (2017), 141–154

Summary

Конусные разбиения

Число вершин в наибольшей клике, графа конусного разбиения K пространства Rd по множеству X. Выпуклой оболочкой конечного множества точек служит выпуклый многогранник, который называется многогранником задачи. Для конусного разбиения пространства Rd по множеству X граф совпадает с полиэдральным графом многогранника M (X), множеством вершин которого служит множество геометрических вершин (в данном случае это X), а множеством ребер совокупность геометрических ребер, т.e. множество одномерных граней. В свою очередь, является двойственной к полиэдру задачи, который определяется как доминанта выпуклой оболочки множества X: dmt(X) = conv(V ) + Rd+, и применяется при анализе задач с неотрицательными исходными данными [13]. Графов конусных разбиений и их взаимосвязи со сложностью задач комбинаторной оптимизации посвящено большое число работ. В частности, были получены результаты для многогранников задачи коммивояжера [1] и задач об остовном дереве при дополнительных ограничениях [4], а также для неотрицательных конусных разбиений для задач о кратчайшем и самом длинном пути [5], задачи о разрезе [3, 8] и многих других [2]

Сбалансированный полный двудольный подграф

Максимальный полный двудольный подграф

Минимальный полный двудольный подграф

Заключение