Poisson structures on certain moduli spaces for bundles on a surface

Abstract

Soient Σ une surface fermée, G un groupe de Lie compact, avec algèbre de Lie g, et ξ:P→Σ un G-fibré principal. Dans des travaux antérieurs nous avons démontré que l’espace des modules N(ξ) de connexions centrales de Yang-Mills, par rapport à des données adaptées supplémentaires, est stratifié par des variétés symplectiques et que l’holonomie fournit un homéomorphisme de N(ξ) sur un certain espace de représentations Rep ξ (Γ,G) qui est un difféomorphisme par rapport à des structures adaptées lisses C ∞ (N(ξ)) et C ∞ Rep ξ (Γ,G), Γ étant l’extension centrale universelle du groupe fondamental de Σ. Etant donnée une forme symétrique invariante sur g * , nous construisons ici des structures de Poisson sur C ∞ (N(ξ)) et C ∞ Rep ξ (Γ,G) de sorte que le difféomorphisme mentionné soit compatible avec ces structures. Si la forme sur g * est non-dégénérée, l’espace Rep ξ (Γ,G) étant muni de la stratification correspondante, ces structures de Poisson sont compatibles avec les stratifications et fournissent donc des structures d’espaces symplectiques stratifiés, conservées par l’action du groupe des classes d’applications de Σ.