Abstract
The project “Platform-independent approach to formal specification and verification of standard mathematical functions” is aimed onto the development of incremental combined approach to specification and verification of standard Mathematical functions like sqrt, cos, sin, etc. Platform-independence means that we attempt to design a relatively simple axiomatization of the computer arithmetics in terms of real arithmetics (i.e. the field \(\mathbb{R}\) of real numbers) but do not specify neither base of the computer arithmetics, nor a format of numbers representation. Incrementality means that we start with the most straightforward specification of the simplest case to verify the algorithm in real numbers and finish with a realistic specification and a verification of the algorithm in computer arithmetics. We call our approach combined because we start with manual (pen-and-paper) verification of the algorithm in real numbers, then use this verification as proof-outlines for a manual verification of the algorithm in computer arithmetics, and finish with a computer-aided validation of the manual proofs with a proof-assistant system (to avoid appeals to “obviousness” that are common in human-carried proofs). In the paper, we apply our platform-independent incremental combined approach to specification and verification of the standard Mathematical square root function. Currently a computer-aided validation was carried for correctness (consistency) of our fix-point arithmetics and for the existence of a look-up table with the initial approximations of the square roots for fix-point numbers.
Highlights
При переходе от “идеальной” арифметики вещественных чисел к арифметике с фиксированной запятой алгоритм LAN IR с Рис. 3 должен измениться, так как теперь вместо обычных операций сложения, вычитания, умножения и деления над вещественными числами R используются операции ⊕, ⊗ и
В качестве эпиграфа к нашей статье (и проекту “Платформенно-независимый подход к формальной спецификации и верификации стандартных математических функций”) можно было бы взять следующую цитату из аннотации работы [20]: Current critical systems commonly use a lot of floating-point computations, and the testing or static analysis of programs containing floating-point operators has become a priority
V., "Platform-independent Specification and Verification of the Standard Mathematical Square Root Function", Modeling and Analysis of Information Systems, 25:6 (2018), 637–666
Summary
В предыдущем разделе 1.1. мы доказали частичную корректность, остаётся доказать завершаемость в случае, когда выполнено предусловие. Так как√начальная ошибка перед первой итерацией тела цикл√а) это (ini(y) − y), то, следовательно, в качестве оценки сверху ошибки (X − y) после m ≥ 0 итераций тела этого цикла можно принять (ini(y) − √y)2m (2√y)m (3). Что именно поэтому в нескольких алгоритмах вычисления квадратного корня для компьютерных игр [7] использована явная развертка цикла (2 − 2) на несколько итераций (на 2–4). Однако, необходимо показать, что существуют (могут быть реализованы) функция округления SelRoundU p и справочная таблица U pRoot, которые “делают” предусловие в (6) истинным, и, следовательно, алгоритм LAN IR завершает работу, после чего выполнено постусловие спецификации (6). Мы показали, что для арифметики вещественных чисел существуют функция округления SelRoundU p и справочная таблица U pRoot, которые делают предусловие спецификации (6) истинным; следовательно, при использовании этих функций и таблиц алгоритм LAN IR завершает работу, после чего выполнено постусловие спецификации (6). Разработка и спецификация прототипа алгоритма аппроксимации квадратного корня в машинной арифметике с фиксированной запятой
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
