Planar Lorentz process in a random scenery

Abstract

Nous considérons le processus de Lorentz dans le plan avec des obstacles convexes disposés de manière périodique (nous supposons de plus que l’horizon est fini). Dans ce modèle, une particule ponctuelle se déplace à vitesse unitaire et sa vitesse obéit à la loi de la réflexion de Descartes à l’instant d’un choc contre un obstacle. La scène aléatoire est donnée par une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi, centrées, de variance finie non nulle. Chacune de ces variables aléatoires est associée à un obstacle. Nous associons à la particule une somme qui évolue avec le temps. Cette somme est nulle au départ. A chaque fois que la particule touche un obstacle, elle gagne la valeur de la variable aléatoire associée à cet obstacle. Nous montrons que la somme totale gagnée au temps n (normalisée par $\sqrt{n\log(n)}$) converge en loi vers un processus de Wiener lorsque n tend vers l’infini. Un tel résultat a été établi par Bolthausen [Ann. Probab. 17 (1989) 108–115)] dans le cas de marches aléatoires sur ℤ2 avec des pas indépendants et de même loi. Nous nous inspirons de son travail. Nous remplaçons l’hypothèse d’indépendance de [Ann. Probab. 17 (1989) 108–115)] par des extensions du théorème limite local établi par Szász and Varjú in [Ergodic Theory Dynam. Systems 24 (2004) 257–278]. Ce travail apporte une réponse à une question de Szász concernant le comportement asymptotique de ${∑_{k=0}^{n−1}}ζS_{k}$ où (ζℓ)ℓ est une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées, centrées, de variance finie et non nulle et où Sk désigne le numéro de la cellule dans laquelle se trouve la particule à l’instant de la kème reflexion.