Piecewise-linear and birational toggling

Abstract

We define piecewise-linear and birational analogues of toggle-involutions, rowmotion, and promotion on order ideals of a poset $P$ as studied by Striker and Williams. Piecewise-linear rowmotion relates to Stanley's transfer map for order polytopes; piecewise-linear promotion relates to Schützenberger promotion for semistandard Young tableaux. When $P = [a] \times [b]$, a reciprocal symmetry property recently proved by Grinberg and Roby implies that birational rowmotion (and consequently piecewise-linear rowmotion) is of order $a+b$. We prove some homomesy results, showing that for certain functions $f$, the average of $f$ over each rowmotion/promotion orbit is independent of the orbit chosen. Nous définissons et étudions certains analogues linéaires-par-morceaux et birationnels d’involutions toggles, rowmotion et promotion sur les idéaux d’un poset $P$, comme étudié par Striker et Williams. La rowmotion linéaire-par-morceaux est liée à la fonction transfert de Stanley pour les polytopes d’ordre; la promotion linéaire-par-morceaux se rapporte à la promotion de Schützenberger pour les tableaux semi-standards de Young. Lorsque $P = [a] \times [b]$, une propriété de symétrie réciproque récemment prouvée par Grinberg et Roby implique que la rowmotion birationnelle (et par conséquent la rowmotion linéaire-par-morceaux) est de l’ordre $a+b$. Nous démontrons quelques résultats d’homomésie, montrant que pour certaines fonctions $f$, la moyenne de $f$ sur chaque orbite de rowmotion/promotion est indépendante de l’orbite choisie.