Abstract
The dynamics of an association of three coupled oscillators is studied. The link between the oscillators is a broadcast connection, that is, one element unilaterally effects the other two, which in turn interact with each other. An important property of the relation among the oscillators is the presence of a delay that obviously can often be found in applications. The studied system simulates the situation of population dynamics when populations are weakly connected, for example, are divided geographically. In this case one population can affect the other two, which in turn can influence each other but not the first one. Each individual oscillator is represented by the logistic equation with a delay (Hutchinson’s equation). Local asymptotic analysis of this system is done in the case of proximity of oscillator parameters to the values at which the Andronov-Hopf bifurcation occur, also the coupling coefficient in the system are assumed to be small. The method of normal forms is used. The study of the dynamics of the system in some neighborhood of a single equilibrium state is reduced to a system of ordinary differential equations on a stable integral manifold. For the construction of a normal form were found elementary modes obtained by using the symmetry of the problem, and the conditions for their stability. Taking into account the obtained asymptotic formulas, the phase reorganizations occurring in the system are numerically analyzed. It is shown that the delay in the communication circuits of the oscillators significantly affects the qualitative behaviour of the system solutions.
Highlights
which in turn interact with each other. An important property of the relation
among the oscillators is the presence of a delay
that obviously can often be found in applications
Summary
Проблема предсказания сложного коллективного поведения ассоциаций связанных осцилляторов различной природы является одной из наиболее важных задач в настоящее время. Предполагая дополнительно, что f (0) = −1, и полагая, что в цепи связи имеется дополнительное запаздывание, приходим к задаче, близкой к системе, состоящей из трех уравнений Хатчинсона с запаздывающей вещательной связью:. Параметр h > 0 представляет собой запаздывание в цепи связи. Что влияние запаздывания в цепи связи между осцилляторами рассматривалось также в статьях [5, 6]. Публикаций, в частности, задача диффузионного взаимодействия осцилляторов типа уравнения Хатчинсона исследовалась в [8,9,10]. В настоящей работе изучается динамика системы из трех уравнений Хатчинсона со слабой вещательной связью между ними. Локальная динамика трех осцилляторов общего вида, связанных вещательным образом без запаздывания, рассмотрена ранее в [12]. В настоящей работе исследуется влияние запаздывания, введенного в цепь связи, на динамику изучаемой системы. При помощи локального асимптотического анализа и иллюстрирующего его численного эксперимента изучим периодические и квазипериодические решения системы (4)
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have