Pathwise stochastic calculus with local times

Abstract

Nous etudions la notion de temps local pour un processus continu, defini comme la limite de fonctions discretes le long d’une suite de partitions de l’intervalle de temps. Notre approche englobe les definitions deja existantes et coincide p.s. avec la definition (stochastique) usuelle des temps locaux pour les trajectoires de semimartingales continues. Nous etablissons une version trajectorielle des formules de changement de variables, de temps et de Tanaka–Meyer ansi que plusieures conditions equivalentes pour l’existence du temps local trajectoire par trajectoire. Finalement, nous proposons une etude detaillee de la facon dont le processus limite, son temps local et sa variation quadratique, dependent du choix de la suite de partitions. Nous montrons en particulier qu’un processus non-decroissant donne peut toujours etre obtenu p.s. comme la variation quadratique d’un mouvement Brownien standard le long d’une suite appropriee de partitions (aleatoires). De tels comportements pathologiques sont cependant exclus quand les partitions sont construites a l’aide de temps d’arret.