Path dependent Feynman–Kac formula for forward backward stochastic Volterra integral equations

Abstract

Cet article étudie les relations entre les équations intégrales de Volterra forward-backward stochastiques (FBSVIE) et un système d’équations aux dérivées partielles, non locales en temps, dépendant des trajectoires (PPDE). En raison de la nature des équations du type Volterra, la propriété habituelle de flot, ou de semigroupe, n’est pas vérifiée. Inspirés par les travaux de Viens–Zhang (Ann. Appl. Probab. 29 (2019) 3489–3540) et Wang–Yong (Stochastic Process. Appl. 129 (2019) 4926–4964), nous introduisons des processus auxiliaires de sorte que la propriété de flot de solutions adaptées aux FBSVIE soit retrouvée dans un sens approprié, et que la formule d’Itô fonctionnelle soit applicable. Puis, nous exhibons une PPDE naturelle telle que la solution adaptée de la SVIE backward admet une représentation en termes de la solution de la SVIE forward via la solution de cette PPDE. Par ailleurs, la solution de la PPDE admet une représentation en termes de la solution à la FBSVIE (dépendant de la trajectoire), ce que nous interprétons comme une formule de Feynman–Kac. Ceci conduit à l’existence et l’unicité d’une solution classique de la PPDE, sous des conditions de régularité pour les coefficients de la FBSVIE. De plus, sous l’hypothèse que la composante backward de la FBSVIE est de dimension 1, on peut affaiblir ces conditions de régularité en introduisant une nouvelle notion de solution de viscosité pour la PPDE, et établir un principe de comparaison de ces solutions qui implique leur unicité. Enfin, certains résultats ont été étendus aux FBSVIE couplées et aux BSVIE de type II, et une formule de représentation des dérivées des trajectoires des solutions de la PPDE est obtenue par une étude plus approfondie des FBSVIE linéaires.