Abstract
A logistic equation with a delay feedback circuit and with periodic perturbation of parameters is considered. The problem parameters (a coefficient of the linear growth and a delay) are chosen close to the critical values at which a cycle is bifurcated from the equilibrium point. We assume that these values have a double-frequency relation to the time, the frequency of action being close to the doubled frequency of the natural vibration. Asymptotic analysis is performed under these assumptions and leads to a two-dimensional system of ordinary differential equations. The linear part of this system is periodic. If the parameter which defines the frequency detuning of the external action is large or small, we can apply standard asymptotic methods to the resulting system. Otherwise, numerical analysis is performed. Using the results of the numerical analysis, we clarify the main scenarios of phase transformations and find the area of chaotic oscillations. The main conclusion is that in case of parametric resonance the dynamics of the problem with double-frequency perturbation is more complicated than the dynamics of the problem with single-frequency perturbation.
Highlights
Рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием в цепи обратной связи и периодическим возмущением параметров.
Основной вывод состоит в том, что динамика в случае параметрического резонанса при двухчастотном возмущении принципиально сложнее по сравнению с динамикой в случае одночастотного возмущения.
При фиксированных ω1 и ω2 таких, что ω1,2 = π/T0, поставленная задача решается просто: при всех достаточно малых значениях ε решения (2) из некоторой достаточно малой, но не зависящей от ε окрестности u0, стремятся к u0 при t → ∞.
Summary
Рассматривается логистическое уравнение с запаздыванием в цепи обратной связи и периодическим возмущением параметров. Основной вывод состоит в том, что динамика в случае параметрического резонанса при двухчастотном возмущении принципиально сложнее по сравнению с динамикой в случае одночастотного возмущения. При фиксированных ω1 и ω2 таких, что ω1,2 = π/T0, поставленная задача решается просто: при всех достаточно малых значениях ε решения (2) из некоторой достаточно малой, но не зависящей от ε окрестности u0, стремятся к u0 при t → ∞.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
