Outliers in the spectrum for products of independent random matrices

Abstract

Pour un $m\geq 1$ fixé, nous considérons le produit de $m$ matrices aléatoires indépendantes de taille $n\times n$, à coefficients i.i.d., lorsque $n\to \infty $. Sous certaines hypothèses sur les coefficients de chaque matrice, il est connu que la loi empirique limite des valeurs propres est décrite par la puissance $m$-ième de la loi circulaire. De plus, cette même loi limite apparaît toujours si chacune des matrices i.i.d. est perturbée additivement par une erreur déterministe de rang borné. Néanmoins, les perturbations de rang borné peuvent créer quelques valeurs propres atypiques (outliers). Nous décrivons la localisation asymptotique de ces valeurs propres atypiques, ce qui généralise un résultat de Tao (Probab. Theory Related Fields 155 (2013) 231–263) dans la cas d’une seule matrice i.i.d. Nos méthodes nous permettent également de considérer d’autres types de perturbations, dont des perturbations multiplicatives.