ONE SIX-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

Abstract

One six-order partial differential equation in the presence of the Painleve property is considered in this work. Differential equations are the models of different physical processes such as tasks of nonlinear waves, processes of turbulence, drift waves in plasma, etc. Ablowitz’s hypothesis is widely used that all reductions of completely integrable partial differential equations lead to ordinary differential equations with the Painleve property. The Painleve property is the basis of classification and reduction to the canonical form of nonlinear partial differential equations, just like this property allows one to classify ordinary differential equations. The Painleve property classification of partial differential equations higher than the third order is still far from complete. This is due to the fact that the known methods of research give generally only necessary conditions for existence of the Painleve property. To prove the sufficiency, for example, it is possible to reduce the investigated equation by a suitable replacement to the equation, for which the presence of the Painleve property has already been found. Therefore, of particular interest are the methods allowing one to build the equations with the a priori Painleve property. Introduction contains the definition of the Painleve property for a partial differential equation known in the literature and describes the main method of research — resonance method. In the main part, the resonant structure is investigated and the fulfillment of necessary conditions for the presence of the Painleve property is checked. To achieve this goal, we solved the problems of constructing series representing the solution of the six-order partial differential equations containing six arbitrary functions. The convergence of the obtained series is proved by using majorant series. The terms of lesser weight are found, in the presence of which for the equation a necessary condition for existence of the Painleve property, as well as a suitable substitution reducing the obtained equation to the linear one will be satisfied. Rational solutions are built in terms of negative resonances with respect to the function φ. Исследуется одно дифференциальное уравнение в частных производных шестого порядка на наличие свойства Пенлеве. Дифференциальные уравнения являются моделями разных физических процессов, таких как задачи о нелинейных волнах, процессов турбулентности, волн дрейфа в плазме и т. д. Широко используется гипотеза Абловица о том, что все редукции полностью интегрируемых дифференциальных уравнений в частных производных приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям со свойством Пенлеве. Свойство Пенлеве служит основой классификации и приведения к каноническому виду нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных подобно тому, как это свойство позволяет классифицировать обыкновенные дифференциальные уравнения. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных выше третьего порядка по свойству Пенлеве еще далека от своего завершения. Это связано с тем, что известные методы исследования дают в основном лишь необходимые условия наличия свойства Пенлеве. Для доказательства достаточности можно, например, свести исследуемое уравнение подходящей заменой к уравнению, наличие свойства Пенлеве для которого уже установлено. Поэтому особый интерес представляют методы, позволяющие строить уравнения, априори имеющие свойство Пенлеве. Во введении приводится известное в литературе определение свойства Пенлеве для дифференциального уравнения в частных производных, а также описание основного метода исследования – метода резонансов. В основной части исследована резонансная структура исследуемого уравнения, проверено выполнение необходимых условий наличия свойства Пенлеве. Для достижения поставленной цели решены задачи построения рядов, представляющих решение дифференциального уравнения в частных производных шестого порядка, которые содержат шесть произвольных функций. Доказана сходимость полученных рядов с помощью построения мажорантных рядов. Найдены слагаемые меньшего веса, при наличии которых для уравнения будет выполнено необходимое условие наличия свойства Пенлеве, а также подстановка, линеаризирующая полученное уравнение. Построены рациональные относительно функции φ решения по отрицательным резонансам.