On Updating Preconditioners for the Iterative Solution of Linear Systems

Abstract

El tema principal de esta tesis es el desarrollo de tecnicas de actualizacion de precondicionadores para resolver sistemas lineales de gran tamano y dispersos Ax=b mediante el uso de metodos iterativos de Krylov. Se consideran dos tipos interesantes de problemas. En el primero se estudia la solucion iterativa de sistemas lineales no singulares y antisimetricos, donde la matriz de coeficientes A tiene parte antisimetrica de rango bajo o puede aproximarse bien con una matriz antisimetrica de rango bajo. Sistemas como este surgen de la discretizacion de PDEs con ciertas condiciones de frontera de Neumann, la discretizacion de ecuaciones integrales y metodos de puntos interiores, por ejemplo, el problema de Bratu y la ecuacion integral de Love. El segundo tipo de sistemas lineales considerados son problemas de minimos cuadrados (LS) que se resuelven considerando la solucion del sistema equivalente de ecuaciones normales. Concretamente, consideramos la solucion de problemas LS modificados y de rango incompleto. Por problema LS modificado se entiende que el conjunto de ecuaciones lineales se actualiza con alguna informacion nueva, se agrega una nueva variable o, por el contrario, se elimina alguna informacion o variable del conjunto. En los problemas LS de rango deficiente, la matriz de coeficientes no tiene rango completo, lo que dificulta el calculo de una factorizacion incompleta de las ecuaciones normales. Los problemas LS surgen en muchas aplicaciones a gran escala de la ciencia y la ingenieria como, por ejemplo, redes neuronales, programacion lineal, sismologia de exploracion o procesamiento de imagenes. Los precondicionadores directos para metodos iterativos usados habitualmente son las factorizaciones incompletas LU, o de Cholesky cuando la matriz es simetrica definida positiva. La principal contribucion de esta tesis es el desarrollo de tecnicas de actualizacion de precondicionadores. Basicamente, el metodo consiste en el calculo de una descomposicion incompleta para un sistema lineal aumentado equivalente, que se utiliza como precondicionador para el problema original. El estudio teorico y los resultados numericos presentados en esta tesis muestran el rendimiento de la tecnica de precondicionamiento propuesta y su competitividad en comparacion con otros metodos disponibles en la literatura para calcular precondicionadores para los problemas estudiados.; The main topic of this thesis is updating preconditioners for solving large sparse linear systems Ax=b by using Krylov iterative methods. Two interesting types of problems are considered. In the first one is studied the iterative solution of non-singular, non-symmetric linear systems where the coefficient matrix A has a skew-symmetric part of low-rank or can be well approximated with a skew-symmetric low-rank matrix. Systems like this arise from the discretization of PDEs with certain Neumann boundary conditions, the discretization of integral equations as well as path following methods, for example, the Bratu problem and the Love's integral equation. The…