On the thin-shell conjecture for the Schatten classes

Abstract

Nous etudions la conjecture de la variance (ou autrement dit, de la concentration du volume d’un convexe dans une petite couronne euclidienne) pour les classes de Schatten. En particulier, nous etablissons la conjecture pour la norme d’operateur, et nous ameliorons egalement le meilleur majorant connu, grâce a Barthe et Cordero-Erausquin (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou Lee et Vempala (2017), dans quelques cas de plus. Nous montrons aussi qu’une condition necessaire pour que la conjecture soit vraie dans une des classes de Schatten est une propriete de correlation negative qui doit etre suffisamment forte: ceci implique que nous obtenons la validite de cette propriete dans tous les cas pour lesquels on peut demontrer la conjecture (comme par exemple pour la norme d’operateur), mais aussi dans tous les cas pour lesquels on peut obtenir une meilleure estimation que celle dans (Proc. Lond. Math. Soc. 106 (2013) 33–64) ou (Lee and Vempala (2017)). En ce qui concerne les demonstrations, notre point de depart consiste en des techniques qui ont ete utilisees dans (Math. Ann. 312 (1998) 773–783) et (Ann. Inst. Henri Poincare Probab. Stat. 43 (2007) 87–99) pour les classes de Schatten dans le contexte d’autres problemes connexes.