On the Spectra of Simplicial Rook Graphs

Abstract

The $\textit{simplicial rook graph}$ $SR(d,n)$ is the graph whose vertices are the lattice points in the $n$th dilate of the standard simplex in $\mathbb{R}^d$, with two vertices adjacent if they differ in exactly two coordinates. We prove that the adjacency and Laplacian matrices of $SR(3,n)$ have integral spectra for every $n$. We conjecture that $SR(d,n)$ is integral for all $d$ and $n$, and give a geometric construction of almost all eigenvectors in terms of characteristic vectors of lattice permutohedra. For $n \leq \binom{d}{2}$, we give an explicit construction of smallest-weight eigenvectors in terms of rook placements on Ferrers diagrams. The number of these eigenvectors appears to satisfy a Mahonian distribution. Le $\textit{graphe des tours simplicials}$ $SR(d,n)$ est le graphe dont les sommets sont les points du réseau dans le $n$ième dilation du simplexe standard dans $\mathbb{R}^d$ ; deux sommets sont adjacents s’ils diffèrent dans exactement deux coordonnées. Nous montrons que tous les valeurs propres des matrices d’adjacence et laplacienne de $SR(3,n)$ sont entiers, pour tous les $n$. Nous conjecturons que les valeurs propres sont entiers pour tous $d$ et $n$, et donnons une construction géometrique de presque tous les vecteurs propres en termes des vecteurs caractéristiques de permutoèdres treillis. Pour $n \leq \binom{d}{2}$, nous donnons une construction explicite des vecteurs propres de plus petits poids en termes desplacements des tours sur diagrammes de Ferrers. Le nombre de ces vecteurs propres semble satisfaire une distribution Mahonian.