On the Shapley value of liability games

Péter Csóka,Ferenc Illés,Tamás Solymosi

doi:10.1016/j.ejor.2021.10.012

Abstract

In a liability problem, the asset value of an insolvent firm must be distributed among the creditors and the firm itself, when the firm has some freedom in negotiating with the creditors. We model the negotiations using cooperative game theory and analyze the Shapley value to resolve such liability problems. We establish three main monotonicity properties of the Shapley value. First, creditors can only benefit from the increase in their claims or of the asset value. Second, the firm can only benefit from the increase of a claim but can end up with more or with less if the asset value increases, depending on the configuration of small and large liabilities. Third, creditors with larger claims benefit more from the increase of the asset value. Even though liability games are constant-sum games and we show that the Shapley value can be calculated directly from a liability problem, we prove that calculating the Shapley payoff to the firm is NP-hard.

Highlights

An insolvent firm with some asset value has liabilities towards a group of creditors
The asset value of an insolvent firm must be distributed among the creditors and the firm itself, when the firm has some freedom in negotiating with the creditors
Even though liability games are constant-sum games and we show that the Shapley value can be calculated directly from a liability problem, we prove that calculating the Shapley payoff to the firm is NP-hard

Summary

A Shapley-érték a tartozásos játékokban

ÖSSZEFOGLALÓ Tartozásos probléma esetén a fizetésképtelen vállalat eszközeit el kell osztani a hitelezők és a vállalat között, miközben a vállalkozásnak bizonyos szabadsága van a hitelezőkkel folytatott tárgyalások során. A tárgyalásokat kooperatív játékokkal modellezzük, és elemezzük a Shapley-értéket az ilyen tartozásos problémák megoldása érdekében. Belátjuk a Shapley-érték három fő monotonitási tulajdonságát. A hitelezők mindig jobban járnak, ha nő a követelésük vagy az eszközérték. A vállalat egy tartozás növekedéséből csak profitálhat, de jobban vagy rosszabbul is járhat, ha az eszközérték növekszik, a kis és nagy tartozások összetételétől függően. Harmadszor, a nagyobb követelésekkel rendelkező hitelezők jobban részesülnek az eszközérték növekedéséből. Hogy a tartozásos játékok konstans összegű játékok, és megmutatjuk, hogy a Shapley-érték közvetlenül kiszámolható egy tartozásos probléma adataiból, a kapcsolódó kooperatív játék generálása nélkül is, bizonyítjuk, hogy a vállalat Shapley-értékének kiszámítása NPnehéz. JEL: C71, C78 Kulcsszavak: Játékelmélet, Shapley-érték, konstans összegű játék, tartozásos játék, fizetésképtelenség

Introduction

The Shapley value of constant-sum games

Liability games and the Shapley value

Properties of the Shapley allocation rule

Complexity of computing the Shapley value