On the Olson and the Strong Davenport constants

Abstract

Soit S un sous-ensemble d’un groupe abélien fini, noté additivement. Si 0 n’est pas une sous-somme (non vide) de S, on dit que S est un ensemble sans sous-somme nulle. Nous examinons la cardinalité maximale d’un ensemble sans sous-somme nulle, c’est-à-dire la (petite) constante d’Olson. Nous déterminons la cardinalité maximale d’un tel ensemble pour plusieurs types de groupes ; en particulier, les p-groupes dont le rang est suffisament grand relativement à l’exposant et plus particulièrement tous les groupes dont l’exposant est au plus 5. Nous obtenons ces résultats comme des cas particuliers de résultats plus généraux, donnant des bornes inférieures pour la cardinalité d’un ensemble sans sous-somme nulle pour des groupes variés. Nous examinons la qualité de ces bornes en considérant des cas explicites, avec l’aide d’un ordinateur. De plus, nous examinons une notion très proche de la constante d’Olson : la cardinalité maximale d’un ensemble minimal de somme nulle, c’est-à-dire la constante de Davenport forte. En particulier, nous déterminons la valeur de cette constante pour les p-groupes élémentaires dont le rang est au plus 2, en utilisant des résultats récents sur la constante d’Olson.