On the number of ground states of the Edwards–Anderson spin glass model

Abstract

Les états fondamentaux du modèle de verre de spins de Edwards–Anderson (EA) sont étudiés sur des graphes infinis de degré fini. Les états fondamentaux sont les configurations de spins qui minimisent de manière locale l’Hamiltonien pour chaque ensemble fini de sommets. Un problème avec des implications importantes en physique et en mathématique est de déterminer le nombre d’états fondamentaux pour le modèle sur $\mathbb{Z}^{d}$ pour un $d>1$ donné. Ce problème est la version équivalente pour les modèles de verre de spins du problème du nombre de géodésiques infinies en percolation de premier passage et du nombre d’états fondamentaux du modèle d’Ising ferromagnétique désordonné. Il a été montré récemment par Newman, Stein et les deux auteurs que sur le demi-plan $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$, il existe un unique état fondamental (modulo un flip global des spins) produit par la limite faible des états fondamentaux des volumes finis pour un choix spécifique des conditions frontières. Dans cet article, nous étudions l’ensemble de tous les états fondamentaux sur le graphe infini $\mathbb{Z}\times\mathbb{N}$. Nous montrons que le nombre d’états fondamentaux est deux (correspondant à un flip global des spins) ou infini. Ceci est le premier résultat sur l’ensemble de tous les états fondamentaux pour une dimension non-triviale. Dans la première partie, nous développons des outils qui sont pertinents à la résolution du problème analogue sur $\mathbb{Z}^{d}$.