On the disposition of cubic and pair of conics in a real projective plane

Горская Виктория Александровна ,Полотовский Григорий Михайлович

doi:10.15507/2079-6900.22.202001.24-37

Abstract

In the first part of the 16th Hilbert problem the question about the topology of nonsingular projective algebraic curves and surfaces was formulated. The problem on topology of algebraic manifolds with singularities belong to this subject too. The particular case of this problem is the study of curves that are decompozable into the product of curves in a general position. This paper deals with the problem of topological classification of mutual positions of a nonsingular curve of degree three and two nonsingular curves of degree two in the real projective plane. Additiolal conditions for this problem include general position of the curves and its maximality; in particular, the number of common points for each pair of curves-factors reaches its maximum. It is proved that the classification contains no more than six specific types of positions of the species under study. Four position types are built, and the question of realizability of the two remaining ones is open.

Highlights

The problem on topology of algebraic manifolds with singularities belong to this subject too
The particular case of this problem is the study of curves that are decompozable into the product of curves in a general position
This paper deals with the problem of topological classification of mutual positions of a nonsingular curve of degree three and two nonsingular curves of degree two in the real projective plane

Summary

Введение и постановка задачи

Исследование топологии распадающихся плоских вещественных алгебраических кривых входит в круг вопросов, относящихся к первой части 16-й проблемы Гильберта. Для первого нетривиального случая (кривые степени 6, распадающиеся в произведение двух M -кривых, пересекающихся без касаний в максимально возможном числе вещественных точек) эта задача была поставлена Д. То среди её вещественных ветвей имеется ровно одна, вложенная в RP 2 односторонне; она называется нечётной ветвью. Определение 1.4 Множество RCm, рассматриваемое с точностью до изотопии в RP 2, называется вещественной схемой кривой Cm. Кривые с максимально возможным по теореме Харнака числом ветвей называются M -кривыми, а их схемы – M -схемами. (v) для каждой из коник C2, C2 все шесть общих точек нечётной ветви кубики с коникой лежат на одной из четырёх дуг, на которые эта коника делится точками пересечения со второй коникой, причём эта дуга внешняя, т. Е. можно так монотонно двигаться по нечётной ветви кубики, что сначала проходятся шесть точек пересечения с одной коникой, а затем – со второй 3. Поставленная выше задача состоит в изотопической классификации моделей, реализуемых как вещественные схемы некоторых кривых степени 7

Перечисление допустимых моделей

Построения

Запреты с помощью теории кос и зацеплений