On the convergence of random tridiagonal matrices to stochastic semigroups

Abstract

Nous développons une version améliorée de l’approche de stochastic semigroup pour étudier l’extrémité des ensembles bêta introduits par Gorin et Shkolnikov (Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), ensuite étendue aux ensembles bêta gaussiens avec perturbation de rang un par l’auteur et Shkolnikov (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438). Notre méthode est applicable à une classe nettement plus générale de matrices tridiagonales aléatoires que celles dans (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 55 (2019) 1402–1438; Ann. Probab. 46 (2018) 2287–2344), y compris certains cas non symétriques qui ne sont pas couverts par la méthode de stochastic operators introduite par Bloemendal, Ramírez, Rider et Virág (Probab. Theory Related Fields 156 (2013) 795–825; J. Amer. Math. Soc. 24 (2011) 919–944). Nous présentons deux applications de nos principaux résultats : Premièrement, nous prouvons la convergence de matrices tridiagonales aléatoires de type $\beta$-Laguerre (c.-à-d., matrices de covariances empiriques) vers le semi-groupe du stochastic Airy operator et sa perturbation de rang un. Deuxièmement, nous prouvons la convergence des valeurs propres d’une certaine classe de matrices tridiagonales aléatoires non symétriques vers le spectre d’opérateurs de Schrödinger avec bruit blanc gaussien.