Abstract
We consider the second initial boundary-value problem for a certain class of second-order integro-differential PDE with integral operator. The connection of its solution with the solution of the standard second linear initial boundary-value problem for the hyperbolic equation is shown. Thus, the nonlinear problem is reduced to a standard linear problem, whose numerical solution can be obtained, for example, by the Fourier method or Galerkin method. The article provides examples of five integro-differential equations for various integral operators as particular representatives of the class of integro-differential equations for a better understanding of the problem. The application of the main theorem to these examples is shown. Some simple natural requirement is imposed on the integral operator; so, in four cases out of five the problem’s solution satisfies some phase constraint. The form of these constraints is of particular interest for the further research.
Highlights
The nonlinear problem is reduced to a standard linear problem, whose numerical solution can be obtained, for example, by the Fourier method or Galerkin method
Some simple natural requirement is imposed on the integral operator; so, in four cases out of five the problem’s solution satisfies some phase constraint
The form of these constraints is of particular interest for the further research
Summary
Известно [11, 14], что для произвольного T > 0 на множестве ΩT = [0, l] × [0, T ] существует дважды непрерывно дифференцируемая по своим переменным функция z(x, t) – решение гиперболического уравнения 2-го порядка со вторыми краевыми и начальными условиями zt′′t(x, t) = zx′′x(x, t) + b(x)z(x, t), zx′ (0, t) = zx′ (l, t) = 0,. Где F1 – функция, дважды непрерывно дифференцируемая относительно своих переменных, такая что интеграл существует для любой функции w(x, t), имеющей непрерывные вторые производные по обеим переменным. В случае, если в качестве w(x, t) в (1.4) используется функция z(x, t) – решение задачи (1.1)–(1.3), то соответствующую P [z] функцию переменной t будем записывать без индекса: P (t) ≡ Pz(t) или просто P для простоты и удобства записи. Где F2 – функция непрерывная относительно своих аргументов, такая, что интеграл существует для любой функции w(x, t), имеющей непрерывные вторые производные по обеим переменным. Что если функции F2 и w(x, t) заданы, то всегда можно выбрать и зафиксировать T > 0 так, чтобы функция q(t) была ограничена на отрезке t ∈ [0, T ]
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callMore From: Zhurnal Srednevolzhskogo Matematicheskogo Obshchestva
Disclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
