Abstract
We consider sums of values of the composition of a real periodic arithmetic function and the number of prime divisors function over integers not exceeding a given bound. The prime divisors may be counted as with their multiplicity or without it, and we can restrict these divisors to the additional condition of belonging to some special set. This special set may be, for example, a sum of several arithmetic progressions with a given difference or imply an analog of prime number theorem with a power decrement in the remainder term. Moreover, instead of the number of prime divisors function we can consider an arbitrary real additive function that equals to one on primes. As an example of the periodic arithmetic function we can consider the Legendre symbol. In the paper we prove asymptotic formulae for such sums and investigate their behavior. The proof uses the decomposition of the periodic arithmetic function into additive characters of the residue group, so the problem reduces to special trigonometric sums with the number of prime divisors function in the exponent. In order to establish asymptotic formulae for such sums we consider the corresponding Dirichlet series, accomplish its analytic continuation and make use of the Perron formula and complex integration method in specially adapted form.
Highlights
В статье доказаны асимптотические формулы для суммы значений композиции вещественной периодической арифметической функции с периодом не меньшим трех и вещественной аддитивной арифметической функции, равной единице на простых числах, по числам, не превосходящим заданного и таким, что все их простые делители принадлежат специальному множеству
Сер. матем., 2003, т. 67, вып. 4, с. 213–224
Summary
Пусть E — некоторое бесконечное множество натуральных чисел. Через M будем обозначать множество натуральных чисел, все простые делители которых принадлежат E. Что Ω(n) удовлетворяет требованиям, предъявляемым к функции γ(n), а функция aΩ(n) вполне мультипликативна при любом ненулевом комплексном a. При таком выборе множества E обнаруживается тот же эффект преобладания чисел с нечетным количеством простых делителей. Рассматривая распределение чисел из множества M в зависимости от четности ν(n), автор в работах [10, 11] для случая E, допускающего равенство (2), и в работе [12] для случая E, составленного из арифметических прогрессий, получил формулы, отличающиеся от (1) и (3) лишь значениями констант A и B. Такая арифметическая функция периодична с периодом k и является характеристической функцией множества чисел, сравнимых с l по модулю k. В этом случае сумма S(x) имеет смысл количества чисел множества M , не превосходящих x и таких, что γ(n) ≡ l(modk).
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
