On the Approximation of Periodic Functions in L2 and the Values of the Widths of Certain Classes of Functions

K Tukhliev

doi:10.18255/1818-1015-2015-1-127-143

Abstract

The sharp Jackson–Stechkin inequalities are received, in which a special module of continuity Ωe m (f;t) determined by Steklov’s function is used instead the usual modulus of continuity of mth order ω m (f;t). Such generalized modulus of continuity of mth order were introduced by V.A. Abilov and F.V. Abilova. The introduced modulus of continuity found their application in the theory of polynomial approximation in Hilbert space in the works by M.Sh. Shabozov and G.A. Yusupov, S.B. Vakarchuk and V.I. Zabutnaya and others. While continuing and developing these direction for some classes of functions defined by modulus of continuity, the new values of n-widths in the Hilbert space L₂were found.

Highlights

Задачи нахождения точных оценок наилучших приближений 2π-периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами, структурные свойства которых характеризуются скоростью стремления к нулю модулей непрерывности высших порядков, рассмотрены, например, в [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20].
Возникает естественный вопрос: выяснить случаи или указать конкретные свойства весовых функций, для которых при всех 0 < h ≤ π/n имеет место равенство inf Ak,m,r,p(φ, h) = An,m,r,p(φ, h).
В работе [13] доказывается, что если весовая функция φ(t), заданная на отрезке [0, h], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой и при некоторых r ∈ N, 1/r < p ≤ 2 и любых t ∈ [0, h] выполнено дифференциальное неравенство (rp − 1)φ(t) − tφ (t) > 0, (1.9)

Summary

Introduction

Задачи нахождения точных оценок наилучших приближений 2π-периодических дифференцируемых функций тригонометрическими полиномами, структурные свойства которых характеризуются скоростью стремления к нулю модулей непрерывности высших порядков, рассмотрены, например, в [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20]. Возникает естественный вопрос: выяснить случаи или указать конкретные свойства весовых функций, для которых при всех 0 < h ≤ π/n имеет место равенство inf Ak,m,r,p(φ, h) = An,m,r,p(φ, h). В работе [13] доказывается, что если весовая функция φ(t), заданная на отрезке [0, h], является неотрицательной и непрерывно дифференцируемой и при некоторых r ∈ N, 1/r < p ≤ 2 и любых t ∈ [0, h] выполнено дифференциальное неравенство (rp − 1)φ(t) − tφ (t) > 0, (1.9)

Results

Conclusion