Abstract
Given a set-function \(\psi \) defined on bounded subsets of a Banach space with certain properties, necessary and sufficient criteria for \(\psi (A(U))=0\) are given, when A is positively homogeneous of some order and U is bounded. The results are applied to give necessary and sufficient criteria for the compactness and weak compactness of a Frechet derivative (in some point or at \(\infty \)) and when an operator is improving.
Highlights
Научный Вестник МГТУ ГА Сivil Aviation High TechnologiesМеры некомпактности – это, по сути, числовые характеристики ограниченных подмножеств метрического пространства, равные нулю на относительно компактных подмножествах
The quantitative characteristic of measure of noncompactness of metric space subset was introduced by K. Kuratovskiy
E. Magenes this inequality is proved for embedding operators in Banach spaces
Summary
Меры некомпактности – это, по сути, числовые характеристики ограниченных подмножеств метрического пространства, равные нулю на относительно компактных подмножествах. Меры некомпактности – это простой и удобный инструмент для решения различных задач. В предлагаемой работе меры некомпактности используются при исследовании неравенства, точнее, обобщения одного неравенства, встречающегося в многочисленных публикациях и имеющего широкое приложение. Это неравенство доказывается для операторов вложения в банаховых пространствах (частном случае метрических пространств), затем используется для доказательства разрешимости нелинейных эллиптических и параболических уравнений. В отличие от этих авторов здесь при исследовании неравенства не предполагается компактность оператора вложения. В метрическом пространстве для аналога неравенства, записанного через произвольные числовые характеристики ограниченных подмножеств (не обязательно мер некомпактности), получены необходимые и достаточные условия справедливости этого аналога. Следствием полученного результата, в случае если числовая характеристика множества, на самом деле, мера некомпактности, является новый критерий компактности одного оператора (не обязательно линейного) при условии компактности другого.
Sign-in/Register to view highlights & summary Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a callDisclaimer: All third-party content on this website/platform is and will remain the property of their respective owners and is provided on "as is" basis without any warranties, express or implied. Use of third-party content does not indicate any affiliation, sponsorship with or endorsement by them. Any references to third-party content is to identify the corresponding services and shall be considered fair use under The CopyrightLaw.
