On Orbits of Order Ideals of Minuscule Posets

Abstract

An action on order ideals of posets considered by Fon-Der-Flaass is analyzed in the case of posets arising from minuscule representations of complex simple Lie algebras. For these minuscule posets, it is shown that the Fon-Der-Flaass action exhibits the cyclic sieving phenomenon, as defined by Reiner, Stanton, and White. A uniform proof is given by investigation of a bijection due to Stembridge between order ideals of minuscule posets and fully commutative Weyl group elements. This bijection is proven to be equivariant with respect to a conjugate of the Fon-Der-Flaass action and an arbitrary Coxeter element. If $P$ is a minuscule poset, it is shown that the Fon-Der-Flaass action on order ideals of the Cartesian product $P \times [2]$ also exhibits the cyclic sieving phenomenon, only the proof is by appeal to the classification of minuscule posets and is not uniform. Une action sur des idéaux d’ordre d’ensembles partiellement ordonnés, qui ont été considérés par Fon-Der-Flaass, est analysée dans le cas des ensembles ordonnés qui proviennent des représentations minuscules d’algèbres de Lie simples complexes. À propos de ces ensembles ordonnés minuscules, il est démontré que l’action Fon-Der-Flaass offre le phénomène du crible cyclique, tel que défini par Reiner, Stanton et White. Une preuve uniforme est donnée par une étude d’une bijection due à Stembridge entre les idéaux d’ordre d’ensembles ordonnés minuscules et les éléments complètement commutatifs du groupe de Weyl. Il est démontré que cette bijection est équivariante en ce qui concerne un conjugué de l’action Fon-Der-Flaass et un élément de Coxeter arbitraire. Si $P$ est un ensemble ordonné minuscule, il est démontré que l’action Fon-Der-Flaass sur des idéaux d’ordre du produit cartésien $P \times [2]$ manifeste le phénomène du crible cyclique aussi, mais la preuve de ce fait est par appel à laclassification des ensembles ordonnés minuscules et n’est pas uniforme.