On non-conjugate Coxeter elements in well-generated reflection groups

Abstract

Given an irreducible well-generated complex reflection group $W$ with Coxeter number $h$, we call a Coxeter element any regular element (in the sense of Springer) of order $h$ in $W$; this is a slight extension of the most common notion of Coxeter element. We show that the class of these Coxeter elements forms a single orbit in $W$ under the action of reflection automorphisms. For Coxeter and Shephard groups, this implies that an element $c$ is a Coxeter element if and only if there exists a simple system $S$ of reflections such that $c$ is the product of the generators in $S$. We moreover deduce multiple further implications of this property. In particular, we obtain that all noncrossing partition lattices of $W$ associated to different Coxeter elements are isomorphic. We also prove that there is a simply transitive action of the Galois group of the field of definition of $W$ on the set of conjugacy classes of Coxeter elements. Finally, we extend several of these properties to Springer's regular elements of arbitrary order. Étant donnés un groupe de réflexion complexe $W$, irréductible et bien engendré, et $h$ son nombre de Coxeter, nous appelons élément de Coxeter un élément régulier (au sens de Springer) d’ordre $h$; ceci est une extension de la notion la plus habituelle d’élément de Coxeter. Nous montrons que l’ensemble de ces éléments de Coxeter forme une seule orbite sous l’action des automorphismes de réflexion de $W$. Pour les groupes de Coxeter et de Shephard, ceci implique qu’un élément $c$ est un élément de Coxeter si et seulement s’il existe un système simple $S$ de réflexions tel que $c$ soit le produit des générateurs dans $S$. Nous déduisons de cette propriété plusieurs autres résultats. En particulier, nous obtenons que tous les treillis de partitions non-croisées de $W$, associés à différents éléments de Coxeter, sont isomorphes. Nous montrons également qu’il existe une action simplement transitive du groupe de Galois du corps de définition de $W$ sur l’ensemble des classes de conjugaison d’éléments de Coxeter. Enfin, nous étendons plusieurs de ces propriétés au cas des éléments réguliers d’ordre quelconque.