Abstract
Let G be a finite nontrivial group with an irreducible complex character χ of degree d = χ(1). It is known from the orthogonality relation that the sum of the squares of degrees of irreducible characters of G is equal to the order of G. N. Snyder proved that if |G| = d(d + e), then the order of G is bounded in terms of e, provided e > 1. Y. Berkovich proved that in the case e = 1 the group G is Frobenius with the complement of order d. We study a finite nontrivial group G with an irreducible complex character Θ such that |G| ≤ 2Θ(1)2 and Θ(1) = pq, where p and q are different primes. In this case we prove that G is solvable groups with abelian normal subgroup K of index pq. We use the classification of finite simple groups and prove that the simple nonabelian group whose order is divisible by a prime p and of order less than 2p4 is isomorphic to L2(q), L3(q), U3(q), Sz(8), A7, M11 or J1.
Highlights
Вспомогательные результатыЛемма 1. (Клиффорд) Пусть N G и χ ∈ Irr(G), а θ ∈ Irr(N )
Пусть G – конечная неединичная группа с неприводимым комплексным характером χ степени d
In this case we prove that G is solvable groups
Summary
Лемма 1. (Клиффорд) Пусть N G и χ ∈ Irr(G), а θ ∈ Irr(N ). Тогда из χN , θ N = 0 следует, что χN = e t i=1 θi, где θi – характеры, сопряженные θ. Если |G| < p3, то G L2(r), где r = p или r = 2a = p − 1. Теорему 5.4, глава VIII из [8]. Если силовская 2-подгруппа группы G абелева, то G изоморфна L2(q), G2(q) или J1. Если силовская 2-подгруппа группы G имеет нетривиальный циклический коммутант, то G изоморфна группе L2(q), L3(q), U3(q)(q нечетно), A7 или M11. Пусть P – силовская p-подгруппа группы G, имеет порядок p. Если |H : H ∩ Hx| ≡ 0(mod p), то найдется силовская p-подгруппа P1 группы H, содержащаяся в H ∩ Hx. По теореме Силова.
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
