Abstract

Le cout des resolutions triangulaires des solveurs creux directs est parfois critique. Ce cout peut depasser celui de la factorisation dans les applications qui necessitent la resolution de plusieurs milliers de seconds membres. Cette etude se concentre sur les cas ou les seconds membres sont multiples, creux et n’ont pas tous la meme structure. Etant donnee la factorisation A = LU d’une matrice creuse A, l’etude met surtout l’accent sur la resolution du premier systeme triangulaire LY = B, ou L est triangulaire inferieure. Dans ce type de problemes, le creux dans la matrice B peut etre exploite de deux manieres. Premierement, on evite le calcul de certaines lignes, ce qui correspond a elaguer certains noeuds de l’arbre d’elimination (qui represente les dependances entre les calculs de la resolution). Deuxiemement, on reduit, pour chaque noeud, le calcul sur des sous-ensembles de colonnes de B plutot que sur la matrice complete. Dans ce cas, un probleme combinatoire doit etre resolu afin de trouver une permutation des colonnes de B. S’appuyant d’abord sur l’algorithme de dissection emboitee applique a un domaine regulier, un premier algorithme est propose pour contruire une permutation des colonnes de B. Puis une nouvelle approche permet de poursuivre la reduction du nombre d’operations grâce a la creation de blocs. Pour preserver la flexibilite de l’implementation ainsi que l’efficacite des operations de type BLAS 3, un nombre minimal de groupe est cree. Inspires d’abord par des observations geometriques, ces nouveaux algorithmes ont ete etendus algebriquement pour n’utiliser que des informations provenant de la structure des seconds membres et des arbres d’elimination. Ils permettent ainsi une convergence rapide vers le nombre minimal d’operations. Les resultats experimentaux demontrent le gain obtenu par rapport a d’autres approches classiques. Enfin, les applications et extensions possibles de ce travail sont presentees.

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