On exact solutions of equations of rotational motion of a rigid body under action of torque of circular-gyroscopic forces

Alexander A Kosov,Eduard I Semenov

doi:10.15507/2079-6900.23.202102.159-170

Abstract

Abstract. A nonlinear system of differential equations describing the rotational motion of a rigid body under the action of torque of potential and circular-gyroscopic forces is considered. For this torque, the system of differential equations has three classical first integrals: the energy integral, the area integral, and the geometric integral. For the analogue of the Lagrange case, when two moments of inertia coincide and the potential depends on one angle, an additional first integral is found and integration in quadratures is performed. A number of examples is considered where parametric families of exact solutions are considered. In these examples, polynomial or analytical functions were used as a potential. In particular, we construct families of periodic and almost periodic motions, as well as families of asymptotically uniaxial rotations. We also identified movements that have limit values of opposite signs for unlimited increase and decrease of time.

Highlights

A nonlinear system of differential equations describing the rotational motion of a rigid body under the action of torque of potential and circular-gyroscopic forces is considered
For the analogue of the Lagrange case, when two moments of inertia coincide and the potential depends on one angle, an additional first integral is found and integration in quadratures is performed
Конфликт интересов: авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов

Summary

Введение

Описывающая движение тяжелого твердого тела около неподвижной точки, была получена Л. Были найдены классические случаи интегрируемости этой системы (случаи Эйлера, Лагранжа и Ковалевской), для которых существует дополнительный четвертый по счету алгебраический первый интеграл и доказано, что если условия этих классических случаев не выполняются, то дополнительного интеграла не существует даже в классе аналитических функций (подробную историю исследований и обзор результатов можно найти в монографиях [1,2,3,4,5]), а также в обзорной статье [6]. Классический случай Лагранжа для уравнений движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой выделяется условиями совпадения двух моментов инерции B = A и линейной зависимостью потенциальной функции только от одного угла U (γ) = kγ3 [1]. Во-первых, присоединение указанного выше циркулярно-гироскопического момента сохраняет все три классических первых интеграла, поэтому логично выяснить аналоги классических случаев интегрируемости при действии такого дополнительного момента. Основная цель данной статьи состоит в том, чтобы провести интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений, соответствующей аналогу случая Лагранжа, и показать на примерах возможность получения точных решений, выражаемых элементарными функциями

Случай Лагранжа с потенциальной функцией

Примеры

Заключение