Abstract
In 1929 B.N. Delaunay obtained the complete classification of all possible combinatorial coincidence types of parallelohedra at their faces of codimension 3. It appeared that every such coincidence is dual to one of the following five three-dimensional polytopes: a tetrahedron, a quadrangular pyramid, an octahedron, a triangular prism, or a parallelepiped. The present paper contains a new combinatorial proof of this result based on Euler formula. Using the classification, we have obtained several further properties of faces of codimension 3 in parallelohedral tilings. For instance, we showed that the Dimension Conjecture holds for faces of codimension 3, i.e. if we take the affine hull of centers of all parallelohedra containing a particular face of codimension 3, this affine hull is three-dimensional. Finally, we proved that the set of centers of all parallelohedra sharing a face of codimension 3 spans a three-dimensional sublattice of index one.
Highlights
Перечисляя все возможные комбинаторные типы трехмерных симметричных полных полиэдральных вееров с шестью и восемью лучами, получаем, что лишь два комбинаторных типа отвечают тесным веерам
It appeared that every such coincidence is dual to one of the following five three-dimensional polytopes: a tetrahedron, a quadrangular pyramid, an octahedron, a triangular prism, or a parallelepiped
Summary
Пусть P — такой выпуклый многогранник в Rd, что существует разбиение граньв-грань T (P ) пространства Rd транслятами (параллельными переносами) P. Пусть Q — выпуклый d-мерный многогранник, и каждая гипергрань Q имеет центр симметрии. Что для k-мерной грани F разбиения T (P ) клетка F ∗ гомеоморфна (d − k)-мерному диску. Дуальная клетка произвольной (d − 3)-мерной грани разбиения граньв-грань пространства на параллелоэдры комбинаторно эквивалентна одному из пяти трехмерных многогранников: тетраэдру, октаэдру, четырехугольной пирамиде, треугольной призме или параллелепипеду. Для любой (d − 3)-мерной грани F разбиения мы доказываем, что комбинаторика D(F ) как дуальной клетки совпадает с комбинаторным строением многогранника conv D(F ). [3]), утверждающей, что для любой грани F разбиения T (P ) (не обязательно (d − 3)-мерной) выполняется равенство dim aff D(F ) = d − dim F. Для (d − 5)-мерных граней теорема о совпадении решеток неверна, поскольку 5-мерный симплекс индекса 2 может быть даже клеткой Делоне для некоторой решетки (см., напр., [7])
Sign-in/Register to view highlights & summary Sign-in/Register to access full text options 
Free) 
Talk to us
Join us for a 30 min session where you can share your feedback and ask us any queries you have
Schedule a call
