On comparison principle and strict positivity of solutions to the nonlinear stochastic fractional heat equations

Abstract

Dans ce papier, nous montrons un principe de comparaison trajectoriel pour l’equation de la chaleur stochastique, fractionnaire, nonlineaire sur $\mathbb{R}$ avec une donnee initiale a valeur mesure. Nous donnons des estimations quantitatives de la proximite a zero d’une solution. Ces resultats etendent le principe de comparaison de Mueller pour l’equation de la chaleur stochastique et permettent de considerer des donnees initiales plus generales telles que des mesures de Dirac et des mesures a queue plus lourde qu’une croissance exponentielle lineaire en ${\pm}\infty$. Ces resultats generalisent un travail recent par Moreno Flores (Ann. Probab. 42 (2014) 1635–1643), qui a prouve la stricte positivite de l’equation de la chaleur stochastique partant d’un Dirac. Comme application, nous etablissons la complete intermittence pour l’equation. Dans une etape intermediaire, nous prouvons la regularite Holder de solutions partant d’une donnee initiale a valeur mesure ce qui generalise, dans un certain sens, un travail recent de Chen and Dalang (Stoch. Partial Differ. Equ. Anal. Comput. 2 (2014) 316–352).