On a spectral sequence for the action of the Torelli group of genus $3$ on the complex of cycles

Abstract

Группа Торелли замкнутой ориентированной поверхности $S_g$ рода $g$ - это подгруппа $\mathcal{I}_g$ группы классов отображений $\operatorname{Mod}(S_g)$, состоящая из всех классов отображений, которые тривиально действуют на гомологиях поверхности $S_g$. Одна из самых интересных открытых проблем, касающихся групп Торелли, - вопрос, является ли группа $\mathcal{I}_3$ конечно определенной. Один из возможных подходов к этой проблеме - изучение второй группы гомологий группы $\mathcal{I}_3$ при помощи спектральной последовательности $E^r_{p,q}$ для действия группы $\mathcal{I}_3$ на комплексе циклов. В настоящей работе мы получаем частичный результат в направлении гипотезы, что группа $H_2(\mathcal{I}_3;\mathbb{Z})$ не является конечно порожденной и, следовательно, группа $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной. А именно, мы доказываем, что член $E^3_{0,2}$ упомянутой спектральной последовательности не конечно порожден, т. е., что группа $E^1_{0,2}$ остается бесконечно порожденной после факторизации по образам дифференциалов $d^1$ и $d^2$. Если бы в дальнейшем удалось доказать, что она остается бесконечно порожденной и после факторизации по образу дифференциала $d^3$, это завершило бы доказательство того, что $\mathcal{I}_3$ не является конечно определенной. Библиография: 28 наименований.