On a Nonlinear Helmholtz System = Über ein nichtlineares Helmholtz-System

Abstract

In dieser Arbeit wurden Methoden zur Losung gekoppelter Systeme von nichtlinearen Helmholtzgleichungen entwickelt und angewandt. Ein typisches Beispiel fur ein solches System ist $$ \begin{cases} - \Delta u - \mu u = u (u^2 + b \: v^2) & \text{auf } \mathbb{R}^3, \\ - \Delta v - \nu v = v (v^2 + b \: u^2) & \text{auf } \mathbb{R}^3 \end{cases} \qquad \qquad \text{(H)} $$ wobei $\mu, \nu > 0$ positive Konstanten sind und $b \in \mathbb{R}$ die Kopplung modelliert. Unter geeigneten Zusatzvoraussetzungen behandeln die folgenden Kapitel (i) die Existenz reellwertiger, lokalisierter Losungen $u, v: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ mit $u(x), v(x) \to 0$ fur $|x| \to \infty$ von Systemen des Typs (H); sie enthalten (ii) Kriterien, ob diese Losungen vollstandig nichttrivial sind, d.h. ob $u \neq 0$ und zugleich $v \neq 0$ gelten (oder ob dies nicht der Fall ist). in Kapitel 2 wird ein variationeller Ansatz eingefuhrt, der (i) und (ii) fur nichtlineare Helmholtzsysteme ahnlich (H), jedoch fur Raumdimensionen $N \geq 2$, mit einer Nichtlinearitat der Potenz $p \in \left(\frac{2(N+1)}{N-1}, \frac{2N}{N-2} \right)$ und unter der Einschrankung $0 \leq b \leq p-1$ zumindest in Teilen beantwortet. Kapitel 3 enthalt ein Existenzresultat fur vollstandig nichttriviale, radialsymmetrische Losungen von (H), das auf Verzweigungsmethoden basiert und mit einer eingehenden Analyse des Fernfeldverhaltens von Losungen, d.h. der Form von $|x| u(x)$ bzw. $|x| v(x)$ im Limes $|x| \to \infty$, einhergeht. Als weitere Anwendung der in Kapitel 3 entwickelten Techniken werden schlieslich in Kapitel 4 zeitperiodische Losungen der wellen-artigen Gleichungen $$ \partial_t^2 U - \Delta U \mp U = U^3 \quad \text{auf } \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 $$ konstruiert. Dies zeigt exemplarisch auf, wie Resultate fur das Zweikomponentensystem (H) auf ein unendliches System ubertragen werden konnen.