On a generalization of the Selection Theorem of Mahler

Abstract

On montre que l'ensemble UD r des ensembles de points de R, n ≥ 1, qui ont la propriete que leur distance interpoint minimale est plus grande qu'une constante strictement positive r > 0 donnee est muni d'une metrique pour lequel il est compact et tel que la metrique de Hausdorff sur le sous-ensemble UD r,f C UD r des ensembles de points finis est compatible avec la restriction de cette topologie a UD r,f . Nous montrons que ses ensembles de Delaunay (Delone) de constantes donnees dans R,n > 1, sont compacts. Trois (classes de) metriques, dont l'une de nature cristallographique, necessitant un point base dans l'espace ambiant, sont donnees avec leurs proprietes, pour lesquelles nous montrons qu'elles sont topologiquement equivalentes. On prouve que le processus d'enlevement de points est uniformement continu a l'infini. Nous montrons que ce Theoreme de compacite implique le Theoreme classique de Selection de Mahler. Nous discutons la generalisation de ce resultat a des espaces ambiants autres que R. L'espace UD r est l'espace des empilements de spheres egales de rayon r/2.